Abstract
we apply an artificial neural network (ANN) to solve the Cauchy problem by modeling the flow of heavy impurities in potential flows of an incompressible fluid generated by a harmonic potential. We construct an ANN that does not require training to represent the gradient of the Coulomb potential, demonstrating high approximation accuracy. We establish the connection between iterative methods for solving the Cauchy problem and ANNs. Specifically, we design an ANN that implements the Runge-Kutta method, including a fourth-order accurate version, where weight coefficients are predefined at the design stage, eliminating the need for training. We perform a test calculation to compare impurity dynamics simulated using the developed ANN with results from a software package for solving the Cauchy problem. We analyze different initial data configurations and visualize the simulated flow of heavy impurities. Additionally, we demonstrate the practical application of the ANN for locating sources of the Coulomb potential.
References
Галкин В. А., Смородинов А. Д., Моргун Д. А. Решение уравнения Навье–Стокса для сталкивающихся потоков. Успехи кибернетики. 2023;4(2):8–15. DOI: 10.51790/2712-9942-2023-4-2-01.
Смородинов А. Д., Гавриленко Т. В., Дубовик А. О., Моргун Д. А. Реализация программного обеспечения для решения задачи Коши с различными конфигурациями полей начальных данных и визуализации результатов математического моделирования течения тяжелой примеси. Успехи кибернетики. 2024;5(2):35–45. DOI: 10.51790/2712-9942-2024-5-2-04.
Колмогоров А. Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения. Докл. АН СССР. 1957;114(5):953– 956.
Weierstrass K. Uber die analystische Darstellbarkeit sogenannter willkűrlicher Funktionen reeller Argumente. Sitzungsbericht der Kőnig. Academie der Wissenschaften. 1885.
Sprecher D. On the Structure of Continuous Functions of Several Variables. Transactions of the American Mathematical Society. 1965;115(3):340–355. DOI: 10.2307/1994273.
Cybenko G. Approximation by Superpositions of a Sigmoidal Function. Mathematics of Control, Signals, and Systems. 1989;2(4):303–314. CiteSeerX: 10.1.1.441.7873. DOI: 10.1007/BF02551274.
Jordan M. I. Serial Order: A Parallel Distributed Processing Approach. ICS Report 8604.Institute for Cognitive Science, University of California, San Diego, 1986.
Jordan M. I. Attractor Dynamics and Parallelism in a Connectionist Sequential Machine. Proceedings of the Annual Meeting of the Cognitive Science Society. 1986:8
Jordan M. I. Serial Order: A Parallel Distributed Processing Approach. Advances in Psychology. 1997;121:471–495.
Николенко С., Кадурин А., Архангельская Е. Глубокое обучение. СПб.: Питер, 2018. 480 с. ISBN: 978-5-496-02536-2.
Калиткин Н. Н. Численные методы. СПб.: БХВ-Петербург; 2011. 592 с.
Галкин В. А., Дубовик А. О., Смородинов А. Д. Моделирование и визуализация седиментации в течении вязкой несжимаемой жидкости. Научная визуализация. 2024;16(3):71–78. DOI: 10.26583/sv.16.3.07. EDN: KNUTBP.
Галкин В. А., Дубовик А. О., Смородинов А. Д. Моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости с учетом наличия примеси в поле течения. Информатика, управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование (ИУСМКМ-2024). XV Международная научнотехническая конференция в рамках X Международного научного форума Донецкой Народной Республики. Донецк: Донецкий национальный технический университет; 2024:132–139. EDN: WNJHRZ.
Butcher J. C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. 2 edition. New Zealand: Wiley, 2003. ISBN: 0-471-96758-0.
Hairer E., Nørsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. 2 edition. Berlin: Springer-Verlag; 2008. ISBN: 978-3-540-56670-0.
Cash J. R., Karp Alan H. A Variable Order Runge–Kutta Method for Initial Value Problems with Rapidly Varying Right-Hand Sides. ACM Trans. Math. Softw. 1990;16(3):201–222.
Программный комплекс для решения задачи Коши с различными конфигурациями полей начальных данных и визуализации результатов математического моделирования течения тяжелой примеси: свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2024689709, Российская Федерация / Смородинов А. Д., Гавриленко Т. В., Дубовик А. О., Моргун Д. А. EDN: XBPJPY.