Успехи кибернетики2712-9942OtherРеализация алгоритма переноса ограничения при построении дискретного аналога уравнения магнитной индукции методом контрольного объема в сферических координатахA Control-Volume Scheme for the Magnetic Induction Equation in Spherical Coordinates with Constrained TransportБычинИ. В.BychinI. V.bychin_iv@surgu.ruГореликовА. В.GorelikovA. V.gorelikov_av@surgu.ruРяховскийА. В.RyakhovskijA. V.ryakhovskij_av@surgu.ruSurgut Branch of Scientific Research Institute for System Analysis of the National Research Centre “Kurchatov Institute”; Surgut State UniversityСургутский филиал федерального государственного автономного учреждения «Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Национального исследовательского центра «Курчатовский институт»; Сургутский государственный университет310320267124322802202615032026https://ru.jcyb.ru/nisii_tech/article/view/475

в статье рассматривается построение консервативной разностной схемы для уравнения магнитной индукции в сферических координатах. В основе подхода лежит интегральная форма закона Фарадея, применяемая к граням контрольных объемов. Дискретизация выполнена методом контрольного объема с использованием полностью неявной схемы и алгоритма переноса ограничения (CTA). В статье приводится вычисление метрических параметров расчетной сетки и коэффициентов дискретного аналога уравнения магнитной индукции в сферических координатах. Разобран специальный случай аппроксимации радиальной составляющей напряженности электрического поля на ребрах контрольного объема, лежащих на полярной оси (θ = 0,π). Разработанная численная схема реализована в авторском программном комплексе CVMHD для моделирования магнитогидродинамических течений и гидромагнитного динамо в сферических слоях.

this paper presents a conservative finite-difference scheme for the magnetic induction equation in spherical coordinates. We based the approach on the integral form of Faraday’s law of induction applied to the faces of control volumes. We performed the discretization with the finite volume method using a fully implicit scheme and constrained transport (CT). We derived the grid metric terms and the coefficients of the discrete form of the magnetic induction equation in spherical coordinates. We analyzed a special case of approximating the radial component of the electric field at control-volume edges located on the polar axis (θ = 0,π). We implemented the resulting numerical scheme in the CVMHD code developed by the authors for simulations of magnetohydrodynamic flows and hydromagnetic dynamo in spherical shells.

уравнение магнитной индукциидискретизациясферический слойгеодинамоmagnetic induction equationdiscretizationspherical shellgeodynamoработа выполнена в рамках государственного задания НИЦ «Курчатовский институт» — НИИСИ по теме № FNEF-2024-0001 «Создание и реализация доверенных систем искусственного интеллекта, основанных на новых математических и алгоритмических методах, моделях быстрых вычислений, реализуемых на отечественных вычислительных системах» (1023032100070-3-1.2.1).this study is a part of the government contract No. FNEF-2024-0001 Development and Implementation of Trusted AI Systems Using New Mathematical and Algorithmic Methods; Fast Computing Models on Domestic Hardware with the Kurchatov Institute (1023032100070-3-1.2.1).Zhang W., Jardin S., Ma Z., Kleiner A., Zhang H. Linear and Nonlinear Benchmarks Between the CLT Code and the M3D-C1 Code for the 2/1 Resistive Tearing Mode and the 1/1 Resistive Kink Mode. Computer Physics Communications. 2021;269:108134. DOI: 10.1016/j.cpc.2021.108134.Brandenburg A., Johansen A., Bourdin P. A., Dobler W., Lyra W. et al. The Pencil Code, a Modular MPI Code for Partial Differential Equations and Particles: Multipurpose and Multiuser-Maintained. J. Open Source Softw. 2021;6(58):2807. DOI: 10.21105/joss.02807.Mignone A., Bodo G., Massaglia S., Matsakos T., Tesileanu O., Zanni C., Ferrari A. PLUTO: A Numerical Code for Computational Astrophysics. Astrophys. J. Suppl. Ser. 2007;170:228–242. DOI: 10.1086/513316.Rossazza M., Mignone A., Bugli M., Truzzi S., Riha L., Panoc T., Vysocky O., Shukla N., Romeo A., Berta V. The PLUTO Code on GPUs: A First Look at Eulerian MHD Methods. Astronomy and Computing. 2026;5:101076. DOI: 10.1016/j.ascom.2026.101076.Liska M. T. P., Chatterjee K., Issa D. et al. A New GPU-Accelerated GRMHD Code for Exascale Computing with 3D Adaptive Mesh Refinement and Local Adaptive Time Stepping. Astrophys. J. Suppl. Ser. 2022;263(2):26. DOI: 10.3847/1538-4365/ac9966.Burns K. J., Vasil G. M., Oishi J. S. et al. Dedalus: A Flexible Framework for Numerical Simulations with Spectral Methods. Phys. Rev. Res. 2020;2:023068. DOI: 10.1103/PhysRevResearch.2.023068.Matsumoto Y., Asahina Y., Kudoh Y. et al. Magnetohydrodynamic Simulation Code CANS+: Assessments and Applications. Publ. Astron. Soc. Japan. 2019;71(4):83. DOI: 10.1093/pasj/psz064.Gyenge N., Griffiths M. K., Erdelyi R. MHD Code Using Multi Graphical Processing Units: SMAUG+.´ Advances in Space Research. 2018;61(2):683–690. DOI: 10.1016/j.asr.2017.10.027.Matsui H. et al. Performance Benchmarks for a Next Generation Numerical Dynamo Model. Geochem. Geophys. Geosyst. 2016;17(5):1586–1607. DOI: 10.1002/2015GC006159.Siriano S., Melchiorri L., Pignatiello S., Tassone A. A Multi-Region and a Multiphase MHD OpenFOAM Solver for Fusion Reactor Analysis. Fusion Engineering and Design. 2024;200:114216. DOI: 10.1016/j.fusengdes.2024.114216.Feng J., Chen H., He Q., Ye M. Further Validation of Liquid Metal MHD Code for Unstructured Grid Based on OpenFOAM. Fusion Engineering and Design. 2015;100:260–264. DOI: 10.1016/j.fusengdes.2015.06.059.Rives R., Batet L. Numerical Investigation of 3D MHD Pressure Drop in a Prototypical Fusion Blanket Manifold Using OpenFOAM. Fusion Engineering and Design. 2026;224:115592. DOI: 10.1016/j.fusengdes.2025.115592.Vencels J., R˚aback P., Geza V. EOF-Library: Open-Source Elmer FEM and OpenFOAM Coupler forˇ Electromagnetics and Fluid Dynamics. SoftwareX. 2019;9:68–72. DOI: 10.1016/j.softx.2019.01.007.Ding Q., Mao S., Xi R. Second Order, Fully Decoupled, Linear, Exactly Divergence-Free and Unconditionally Stable Discrete Scheme for Incompressible MHD Equations. Computers & Mathematics with Applications. 2024;169:195–204. DOI: 10.1016/j.camwa.2024.06.018.Cai W., Wu J., Xin J. Divergence-Free H(div)-Conforming Hierarchical Bases for Magnetohydrodynamics (MHD). Commun. Math. Stat. 2013;1:19–35. DOI: 10.1007/s40304-0130003-910.1007/s40304-013-0003-9.Fu P., Li F., Xu Y. Globally Divergence-Free Discontinuous Galerkin Methods for Ideal Magnetohydrodynamic Equations. J. Sci. Comput. 2018;77:1621–1659. DOI: 10.1007/s10915-0180750-6.Rossmanith J. A. An Unstaggered, High-Resolution Constrained Transport Method for Magnetohydrodynamic Flows. SIAM J. Sci. Comput. 2006;28:1766–1797. DOI: 10.1137/050627022.Iskakov A. B., Descombes S., Dormy E. An Integro-Differential Formulation for Magnetic Induction in Bounded Domains: Boundary Element–Finite Volume Method. Journal of Computational Physics. 2004;197(2):540–554. DOI: 10.1016/j.jcp.2003.12.008.Balsara D. S., Spicer D. S. A Staggered Mesh Algorithm Using High Order Godunov Fluxes to Ensure Solenoidal Magnetic Fields in Magnetohydrodynamic Simulations. Journal of Computational Physics. 1999;149(2):270–292. DOI: 10.1006/jcph.1998.6153.Yee K. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equations in Isotropic Media. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1966;14(3):302–307. DOI: 10.1109/TAP.1966.1138693.Evans C. R., Hawley J. F. Simulation of Magnetohydrodynamic Flows: A Constrained Transport Method. The Astrophysical Journal. 1988;332:659–677. DOI: 10.1086/166684.Dedner A., Kemm F., Kroner D., Munz C.-D., Schnitzer T., Wesenberg M. Hyperbolic Divergence¨ Cleaning for the MHD Equations. Journal of Computational Physics. 2002;175:645–673. DOI: 10.1006/jcph.2001.6961.Бычин И. В., Гореликов А. В., Ряховский А. В. Схема дискретизации уравнения индукции на смещенных сетках в ортогональных криволинейных координатах. Успехи кибернетики. 2022;3(2):60– 73. DOI: 10.51790/2712-9942-2022-3-2-8.Versteeg H. K. An Introduction to Computational Fluid Dynamics. Harlow: Pearson Education Limited; 2007. 503 p.Leonard B. P. A Stable and Accurate Convective Modelling Procedure Based on Quadratic Upstream Interpolation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1979;19(1):59–98. DOI: 10.1016/0045-7825(79)90034-3.Бычин И. В., Гореликов А. В. Эффект усиления начального магнитного поля в модели геодинамо. Успехи кибернетики. 2025;6(1):76–83.Бычин И. В., Гореликов А. В., Ряховский А. В. Численное исследование эволюции режимов гидромагнитного динамо во вращающемся сферическом слое при различных начальных условиях. Успехи кибернетики. 2023;4(3):19–30. DOI: 10.51790/2712-9942-2023-4-3-02.Бычин И. В. Тестирование магнитогидродинамического кода на задачах естественной конвекции и геодинамо. Успехи кибернетики. 2021;2(1):6–13. DOI: 10.51790/2712-9942-2021-2-1-1.